Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop :) _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Niemand da, der an die Anwendung des Satzes von Vieta denkt? Statt pq-Formel oder Mitternachtsformel kommt man mit dem "Nullstellen-Raten" ganz leicht auf die Ergebnisse. Z.B. kann x²+2x-3 in (x+3)*(x-1) überführt werden , mit den Nullstellen x1=-3 und x2=1. Mit ein wenig Übung kann man diese Lösung "auf den zweiten Blick" erkennen. Ebenso wie bei x²+2x+1 = (x+1) *(x+1) mit x1,2 = -1 Mit nicht ganzzahligen Lösungen funktioniert das natürlich nicht so leicht, aber "einen Versuch" ist es allemal Wert. Insbesondere, wenn die Zahlen so schön klein sind
@@petercarow8077 Weitere logische Herangehensweise: Wegen f(-2) = f(0) = 20 muss der Funktionsgraph seinen Scheitelpunkt bei x = -1 haben. Und da der gegebene Funktionswert 22 > 20 ist, muss auch das gesuchte x zwischen -2 und 0 liegen, denn die Parabel ist ja nach unten geöffnet (negativer x²-Koeffizient). An sich bin ich ja kein Freund davon, Lösungen durch Ausprobieren zu ermitteln, aber hier deutet so viel auf die -1 hin, dass ich in Versuchung gekommen wäre.
Ich sehe deine Videos sehr gerne an, und zwar alle, wenn es geht. Und um konstruktiv zu sein, hätte ich einen Vorschlag. Soweit ich das beurteilen kann, benutzt du bei quadratischen Gleichungen immer die pq-Formel. Nicht, dass ich daran grundsätzlich etwas zu mäkeln hätte. Aber rein aus Übungsgründen für deine Zuschauer könntest du vielleicht mal die anderen Möglichkeiten benutzen, die du nennst. Ansonsten gerne weiter so.
Ja, das sehe ich auch so. Besonders bei der letzten Berechnung war die pq-Formel die auf Spatzen schießende Kanone, denn x² + 2x + 1 = 0 ist die einfachste quadratische Gleichung, die es gibt: (x + 1)² = 0 Da springt die Lösung quasi ins Auge, auch ohne Formel. ;)
Satz von Vieta ist sehr empfehlenswert. Ich habe den benutzt und bei beiden quadratischen Gleichungen mit scharfem Hinsehen die Lösung gefunden. Wird natürlich schwierig, wenn die Lösungen keine ganzen Zahlen sind, aber der Satz von Vieta ist zunächst einen Versuch wert. Wens interessiert, gibt viele Videos dazu auf RUclips, ich meine auch Susanne hat den schon mal vorgestellt.
Wie man als Mathe-RUclipsrin den Schülern empfehlen kann, für Rechnungen des kleinen Einmaleins den Taschenrechner zu benutzen, wird sich mir in diesem Leben nicht mehr erschließen ... zumal du deiner Community in dieser Hinsicht ja nicht allzu viel zuzutrauen scheinst, wenn du gleich zweimal davor zurückschreckst, als die Hälfte von 2 direkt 1 hinzuschreiben ... 🤐
Du machst echt gute Videos, habe bisher keines verpasst. Ich wünschte, die hätte zu meiner Schulzeit schon gegeben. Ich war nicht gut in Mathe. Aber seid ich deine Videos schaue, verstehe ich das was uns damals gelehrt wurde endlich. Mach bitte weiter so tolle, lehrreiche Videos, die sind Klasse. 👍👍👍👍
Schön erklärt. Ich bin mir nur nicht sicher ob es gut ist den Radierer so einzusetzen. Ja, das macht das Video kürzer bzw. weniger Arbeit. Aber ich sehe 2 Gegenargumente. Ja das Video wird kürzer. Also im Zweifelsfall weniger Geld bon RUclips. Und ich denke wer in Mathe schlechter ist der wird es so im Standbild evtl. nicht mehr so verstehen. Index vom Standbild 8:50
Weiß jemand, warum Susanne zuerst die beiden Funktionswerte für x=-2 und x=2 berechnet hat? Die sind doch für die geforderte Sortierung überhaupt nicht relevant, oder? 🤔 🙂👻
Für f(x) = 22 hätte man alternativ auch ausrechnen können, was für x = -1, x = 0 und x = 1 raus kommt. Schließlich haben wir es hier mit ganzen Zahlen zu tun und f(x) zu berechnen ist etwas unkomplizierter als die pq Formel. 😊
Die Idee ist ja gar nicht schlecht: Da die x-Werte aufsteigend sortiert sein sollen, muss der zu f(x)=22 gehörige x-Wert zwischen -2 und 2 liegen. Wenn man dann noch davon ausgeht, dass die x-Werte ganzzahlig sind - was allerdings nicht gesagt wird -, kann man versuchen, ob es mit den Werten -1, 0, oder 1 geht. Einen Versuch ist es wert, weil man das schnell im Kopf ausrechnen kann und es würde ja auch für x=-1 zum Ziel führen. Ich nehme mal, dass Dein Kommentar so gemeint war.
Ein Versuch ist es vielleicht wert, wenn man vermutet, dass die Aufgabensteller boring sind, aber allgemein kann man bei der gegebenen Funktion nicht davon ausgehen, dass wenn f(x) ganzzahlig ist, dann auch x ganzzahlig ist.
f(1) auszurechnen ist erkennbar Zeitverschwendung: f(0) = 20 kann man ja sofort ablesen. Wegen f(0) = f(-2) < 22 und der nach unten geöffneten Parabel muss -2 < x < 0 gelten. f(-1) zu berechnen ist da tatsächlich einen Versuch wert. Das passt dann ja auch. Und da wegen f(-2) = f(0) aus Symmetriegründen bei x = -1 der Scheitelpunkt der Parabel liegen muss, ist dieses Ergebnis auch zwangsläufig eindeutig. Der Haken ist: Dieses Rumprobieren macht natürlich nur so lange Spaß wie man damit auf das richtige Ergebnis kommt - wenn nicht, hat man nur (in der Prüfung wertvolle) Zeit verschwendet und muss den Wert dann trotzdem noch ausrechnen. Und auch wenn man einen Treffer landet, hat man dann in aller Regel immer noch die Beweislast, dass es keine weiteren gibt, an den Hacken. Hier ist es begründbar (s. o.), aber allgemein würde ich diese Rumprobiererei auch nicht empfehlen. Bei f(x) = 22 war die Anwendung der pq-Formel aber trotzdem überflüssig, denn x² + 2x + 1 ist eins der bekanntesten Binome, nämlich (x + 1)².
Innerhalb einer Minute kopfgerechnet und ich bin 58J alt ... Dass Susanne ständig Sechsklässler Aufgaben vorstellt, ist natürlich auch angenehmer für sie, denn andere Aufgaben brauchen mehr Erklärung, mehr Aufwand und längere Videos (mehr Arbeit). Da wo x gegeben ist und f(x) gefragt, schafft jeder schnell kopfrechnen. Da wo f(x) gegeben ist: x²+2x-10+f(x)/2 = 0 dann überlegen welche zwei Zahlen ergeben in Summe 2 und in Produkt [-10+f(x)/2] -> Vorzeichenumkehr und dann natürlich auf "aufsteigend" achten.
Ja, ganz so niedrig ist die Aufgabe nicht, ich hatte quadratische Gleichungen in der 8. Klasse, soweit ich mich erinnere. Aber mit Abitur in Leistungskurs Mathe würden mich auch etwas anspruchsvollere Aufgaben interessieren. Wobei das hier natürlich eine schöne kleine Kopfrechenübung ist.
Ich habe die abc-Formel gelernt, benutze inzwischen aber lieber die pq-Formel. Keine Ahnung, wieso die komplizierter sein soll. Ist einfach die abc-Formel mit a=1 eingesetzt. Wenn a sowieso 1 ist, nehme ich lieber die pq-Formel, weil die sich schnell im Kopf auflösen lässt. Sonst ist die abc-Formel schon praktischer, weil man a eben nicht auf 1 bringen muss. Wenn man weiß (oder davon ausgeht), dass ganzzahlige Ergebnisse rauskommen, kann man auch den Satz von Vieta verwenden. Ist nicht ganz so universell einsetzbar, dafür mit etwas Übung auf jeden Fall am schnellsten. Man kann oft mit Hinsehen die beiden Lösungen bekommen.
Du dividierst die Gleichung ax² + bx + c = 0 durch a, um die Gleichung x² + px + q = 0 zu erhalten. Also gilt p = b/a und q = c/a bzw. b = ap und c = aq. Wenn du nun b = ap und c = aq in die abc-Formel einsetzt, erhältst du die pq-Formel. Anders ausgedrückt ist die pq-Formel nichts anderes als die abc-Formel mit a = 1 und ansonsten anderen Buchstaben. Von daher macht die Aussage, die abc-Formel symphatisch, aber die pq-Formel viel zu kompliziert zu finden, einfach mal gar keinen Sinn.
x²+x+1 würde ich mit der binomischen Formel zu (x+1)² vereinfachen, dann "sieht" man die Lösung gleich und braucht keine pq- oder Mitternachtsformel, die ich mir sowieso nicht langfristig merken kann, zur Lösung. Auch die erste Gleichung lässt sich unkompliziert quadratisch ergänzen, indem man nach der Vereinfachung auf beiden Seiten 4 addiert. DIe Wurzel aus 4 kennt auch jede/r.
Wenn man alle Ozeane der Erde von der Landmasse abziehen könnte und dann die Erdkugel nur aus der Fläche Landmasse bestehen würde, welchen Umfang hätte dann die Erde?
Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei.
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Niemand da, der an die Anwendung des Satzes von Vieta denkt? Statt pq-Formel oder Mitternachtsformel kommt man mit dem "Nullstellen-Raten" ganz leicht auf die Ergebnisse.
Z.B. kann x²+2x-3 in (x+3)*(x-1) überführt werden , mit den Nullstellen x1=-3 und x2=1. Mit ein wenig Übung kann man diese Lösung "auf den zweiten Blick" erkennen. Ebenso wie bei x²+2x+1 = (x+1) *(x+1) mit x1,2 = -1
Mit nicht ganzzahligen Lösungen funktioniert das natürlich nicht so leicht, aber "einen Versuch" ist es allemal Wert. Insbesondere, wenn die Zahlen so schön klein sind
@@petercarow8077 Weitere logische Herangehensweise: Wegen f(-2) = f(0) = 20 muss der Funktionsgraph seinen Scheitelpunkt bei x = -1 haben. Und da der gegebene Funktionswert 22 > 20 ist, muss auch das gesuchte x zwischen -2 und 0 liegen, denn die Parabel ist ja nach unten geöffnet (negativer x²-Koeffizient). An sich bin ich ja kein Freund davon, Lösungen durch Ausprobieren zu ermitteln, aber hier deutet so viel auf die -1 hin, dass ich in Versuchung gekommen wäre.
So kann man seine Hausaufgaben natürlich auch machen lassen... ;)
Ich sehe deine Videos sehr gerne an, und zwar alle, wenn es geht. Und um konstruktiv zu sein, hätte ich einen Vorschlag. Soweit ich das beurteilen kann, benutzt du bei quadratischen Gleichungen immer die pq-Formel. Nicht, dass ich daran grundsätzlich etwas zu mäkeln hätte. Aber rein aus Übungsgründen für deine Zuschauer könntest du vielleicht mal die anderen Möglichkeiten benutzen, die du nennst. Ansonsten gerne weiter so.
Ja, das sehe ich auch so. Besonders bei der letzten Berechnung war die pq-Formel die auf Spatzen schießende Kanone, denn x² + 2x + 1 = 0 ist die einfachste quadratische Gleichung, die es gibt: (x + 1)² = 0
Da springt die Lösung quasi ins Auge, auch ohne Formel. ;)
@@lupus.andron.exhaustus Stimmt! Au!... mein Auge! 🤭
Satz von Vieta ist sehr empfehlenswert. Ich habe den benutzt und bei beiden quadratischen Gleichungen mit scharfem Hinsehen die Lösung gefunden. Wird natürlich schwierig, wenn die Lösungen keine ganzen Zahlen sind, aber der Satz von Vieta ist zunächst einen Versuch wert.
Wens interessiert, gibt viele Videos dazu auf RUclips, ich meine auch Susanne hat den schon mal vorgestellt.
Mein Lösungsvorschlag ▶
f(x)= 14
⇒
-2x²-4x+20= 14
2x²+4x-20+14=0
2x²+4x-6=0
beide Seiten durch 2 teilen:
x²+2x-3=0
Δ= 2²-4*1*(-3)
Δ= 16
√Δ= 4
⇒
x₁= (-2+4)/2
x₁= 1
x₂= (-2-4)/2
x₂= -3
𝕃 = { x ∈ ℝ : { -3, 1 } }
b) f(-2)= ?
f(x)= -2x²-4x+20
f(-2)= -2*(-2)²-4*(-2)+20
f(-2)= -8+8+20
f(-2)= 20
c) f(x)= 22
⇒
-2x²-4x+20= 22
2x²+4x-20+22=0
2x²+4x+2=0
beide Seiten durch 2 teilen:
x²+2x+1=0
Δ= 2²-4*1*1
Δ= 0
⇒
x₁= x₂
⇒
x₁= (-2 + 0)/2
x₁= -1
x₂= (-2-0)/2
x₂= -1
𝕃 = { x ∈ ℝ : { -1 } }
d) f(2)= ?
f(x)= -2x²-4x+20
f(2)= -2*(2)²-4*(2)+20
f(2)= -8-8+20
f(2)= 4
Aufsteigende x- Werte:
x: -3 -2 -1 2
f(x): 14 20 22 4
Mal schnell 'ne Tabellenkalkulation gemacht:
x = -3, f(x) = 14
x = -2, f(x) = 20
x = -1, f(x) = 22
x = +2, f(x) = 4
Wie man als Mathe-RUclipsrin den Schülern empfehlen kann, für Rechnungen des kleinen Einmaleins den Taschenrechner zu benutzen, wird sich mir in diesem Leben nicht mehr erschließen ... zumal du deiner Community in dieser Hinsicht ja nicht allzu viel zuzutrauen scheinst, wenn du gleich zweimal davor zurückschreckst, als die Hälfte von 2 direkt 1 hinzuschreiben ... 🤐
Du machst echt gute Videos, habe bisher keines verpasst. Ich wünschte, die hätte zu meiner Schulzeit schon gegeben. Ich war nicht gut in Mathe. Aber seid ich deine Videos schaue, verstehe ich das was uns damals gelehrt wurde endlich. Mach bitte weiter so tolle, lehrreiche Videos, die sind Klasse. 👍👍👍👍
x=[1|-0,9]; f(x)=[20| 4 ];
Schön erklärt.
Ich bin mir nur nicht sicher ob es gut ist den Radierer so einzusetzen.
Ja, das macht das Video kürzer bzw. weniger Arbeit.
Aber ich sehe 2 Gegenargumente.
Ja das Video wird kürzer. Also im Zweifelsfall weniger Geld bon RUclips.
Und ich denke wer in Mathe schlechter ist der wird es so im Standbild evtl. nicht mehr so verstehen.
Index vom Standbild 8:50
Alternativ könnte sie natürlich von vornherein etwas platzsparender arbeiten, indem sie z. B. 2² direkt als 4 oder 2/2 direkt als 1 hinschreibt. 😏
Guten Tag
Gelöst!👋🙋♂️
Weiß jemand, warum Susanne zuerst die beiden Funktionswerte für x=-2 und x=2 berechnet hat?
Die sind doch für die geforderte Sortierung überhaupt nicht relevant, oder? 🤔
🙂👻
'Fülle die Tabelle so aus''... daher sind ALLE Werte gefordert.
@@m.h.6470
äh, ja stimmt (wer lesen kann, ist klar im Vorteil 😉), sorry...
🙂👻
Warum erinnert mich Susanne an
de.wikipedia.org/wiki/Christian_Spannagel
?
Die Augen. Es müssen die Augen sein...
Wir wissen es nicht.
Ich ahne, sie bevorzugt andere Musik.
Für f(x) = 22 hätte man alternativ auch ausrechnen können, was für x = -1, x = 0 und x = 1 raus kommt. Schließlich haben wir es hier mit ganzen Zahlen zu tun und f(x) zu berechnen ist etwas unkomplizierter als die pq Formel. 😊
Der Kommentar ergibt irgendwie keinen Sinn. So wie sie das gelöst hat, so ist es auf jeden Fall gedacht vom Rechenweg her. 😂
Die Idee ist ja gar nicht schlecht: Da die x-Werte aufsteigend sortiert sein sollen, muss der zu f(x)=22 gehörige x-Wert zwischen -2 und 2 liegen. Wenn man dann noch davon ausgeht, dass die x-Werte ganzzahlig sind - was allerdings nicht gesagt wird -, kann man versuchen, ob es mit den Werten -1, 0, oder 1 geht. Einen Versuch ist es wert, weil man das schnell im Kopf ausrechnen kann und es würde ja auch für x=-1 zum Ziel führen. Ich nehme mal, dass Dein Kommentar so gemeint war.
Ein Versuch ist es vielleicht wert, wenn man vermutet, dass die Aufgabensteller boring sind, aber allgemein kann man bei der gegebenen Funktion nicht davon ausgehen, dass wenn f(x) ganzzahlig ist, dann auch x ganzzahlig ist.
@@lowenzahn3976 Ja natürlich kann man davon nicht ausgehen, das habe ich ja auch geschrieben und auf diese Idee kommt ja auch (hoffentlich) niemand.
f(1) auszurechnen ist erkennbar Zeitverschwendung: f(0) = 20 kann man ja sofort ablesen. Wegen f(0) = f(-2) < 22 und der nach unten geöffneten Parabel muss -2 < x < 0 gelten. f(-1) zu berechnen ist da tatsächlich einen Versuch wert. Das passt dann ja auch. Und da wegen f(-2) = f(0) aus Symmetriegründen bei x = -1 der Scheitelpunkt der Parabel liegen muss, ist dieses Ergebnis auch zwangsläufig eindeutig.
Der Haken ist: Dieses Rumprobieren macht natürlich nur so lange Spaß wie man damit auf das richtige Ergebnis kommt - wenn nicht, hat man nur (in der Prüfung wertvolle) Zeit verschwendet und muss den Wert dann trotzdem noch ausrechnen. Und auch wenn man einen Treffer landet, hat man dann in aller Regel immer noch die Beweislast, dass es keine weiteren gibt, an den Hacken. Hier ist es begründbar (s. o.), aber allgemein würde ich diese Rumprobiererei auch nicht empfehlen.
Bei f(x) = 22 war die Anwendung der pq-Formel aber trotzdem überflüssig, denn x² + 2x + 1 ist eins der bekanntesten Binome, nämlich (x + 1)².
Innerhalb einer Minute kopfgerechnet und ich bin 58J alt ... Dass Susanne ständig Sechsklässler Aufgaben vorstellt, ist natürlich auch angenehmer für sie, denn andere Aufgaben brauchen mehr Erklärung, mehr Aufwand und längere Videos (mehr Arbeit).
Da wo x gegeben ist und f(x) gefragt, schafft jeder schnell kopfrechnen.
Da wo f(x) gegeben ist: x²+2x-10+f(x)/2 = 0 dann überlegen welche zwei Zahlen ergeben in Summe 2 und in Produkt [-10+f(x)/2] -> Vorzeichenumkehr und dann natürlich auf "aufsteigend" achten.
Sechstklässler werde noch von Quadratischen Gleichungen verschont - das kommt erst ab Klasse 9 in den Lehrplänen vor.
Ja, ganz so niedrig ist die Aufgabe nicht, ich hatte quadratische Gleichungen in der 8. Klasse, soweit ich mich erinnere. Aber mit Abitur in Leistungskurs Mathe würden mich auch etwas anspruchsvollere Aufgaben interessieren. Wobei das hier natürlich eine schöne kleine Kopfrechenübung ist.
Geht es nur mir so? Aber ich finde die abc-Formel deutlich sympathischer. Die pq finde ich persönlich viel zu kompliziert 🙈
Nichts geht über die Mitternachtsformel! 😁 Die kann ich auch tagsüber.
Ich habe die abc-Formel gelernt, benutze inzwischen aber lieber die pq-Formel. Keine Ahnung, wieso die komplizierter sein soll. Ist einfach die abc-Formel mit a=1 eingesetzt. Wenn a sowieso 1 ist, nehme ich lieber die pq-Formel, weil die sich schnell im Kopf auflösen lässt. Sonst ist die abc-Formel schon praktischer, weil man a eben nicht auf 1 bringen muss. Wenn man weiß (oder davon ausgeht), dass ganzzahlige Ergebnisse rauskommen, kann man auch den Satz von Vieta verwenden. Ist nicht ganz so universell einsetzbar, dafür mit etwas Übung auf jeden Fall am schnellsten. Man kann oft mit Hinsehen die beiden Lösungen bekommen.
Du dividierst die Gleichung ax² + bx + c = 0 durch a, um die Gleichung x² + px + q = 0 zu erhalten. Also gilt p = b/a und q = c/a bzw. b = ap und c = aq. Wenn du nun b = ap und c = aq in die abc-Formel einsetzt, erhältst du die pq-Formel. Anders ausgedrückt ist die pq-Formel nichts anderes als die abc-Formel mit a = 1 und ansonsten anderen Buchstaben. Von daher macht die Aussage, die abc-Formel symphatisch, aber die pq-Formel viel zu kompliziert zu finden, einfach mal gar keinen Sinn.
Lösungen:
f(x) = 14
14 = -2x² - 4x + 20 |-14
0 = -2x² - 4x + 6 |:-2
0 = x² + 2x - 3
0 = (x - 1)(x + 3)
x₁ = 1 (was nicht in die gesuchte Reihenfolge passt!)
*x₂ = -3*
x = -2
f(x) = -2(-2)² - 4(-2) + 20
f(x) = -2*4 + 8 + 20
f(x) = -8 + 8 + 20
*f(x) = 20*
f(x) = 22
22 = -2x² - 4x + 20 |-22
0 = -2x² - 4x - 2
0 = -2(x² + 2x + 1) |:-2
0 = (x + 1)²
*x = -1*
x = 2
f(x) = -2(2)² - 4(2) + 20
f(x) = -2*4 - 8 + 20
f(x) = -8 - 8 + 20
*f(x) = 4*
Die Reihen sind daher:
x -3 -2 -1 2
f(x) 14 20 22 4
@Susanne
f von x gleich dem da
Ist nicht barrierefrei
x²+x+1 würde ich mit der binomischen Formel zu (x+1)² vereinfachen, dann "sieht" man die Lösung gleich und braucht keine pq- oder Mitternachtsformel, die ich mir sowieso nicht langfristig merken kann, zur Lösung.
Auch die erste Gleichung lässt sich unkompliziert quadratisch ergänzen, indem man nach der Vereinfachung auf beiden Seiten 4 addiert. DIe Wurzel aus 4 kennt auch jede/r.
ich schätze du meinst x² + 2x + 1, denn x² + x + 1 kann nicht über die binomischen Formeln vereinfacht werden!
Wenn man alle Ozeane der Erde von der Landmasse abziehen könnte und dann die Erdkugel nur aus der Fläche Landmasse bestehen würde, welchen Umfang hätte dann die Erde?
Ca. 40kkm
haargenau dengleichen Umfang, denn unter Wasser (Meeresboden = Landmasse) liegt auch Erdboden.